Jardín, junio 2025

Factorial i

 

Factorial i = i!

Recordemos la función Gamma de Euler, cuyo dominio es       ∪ (−2, −1) ∪ (−1, 0) ∪ (0, +∞)

Nota. Al final del blog haremos un breve repaso rápido de la función Gamma de Euler, para mostrar que el concepto de factorial, se extiende de los reales positivos y a complejos

z = a + bi

con tal que a sea un real >=0 (Veremos que esta condición, que aparece en muchos papers, parece ser falsa.

Recordemos que x =e ^ln(x)                                                              (4)

Ahora aplicando la fórmula general para la función Gamma

De acuerdo con la (4)                t = e ^Ln(t)              t ⁱ = e ^ln(t)i         (6)

Recordemos la formula general de los números complejos

e ^iθ = cos(θ) + i sen(θ)

e ^ln(t)i= cos(ln(t)) + isen(ln(t))

Reemplazamos (6) y (7) en la (5) e ^ln(t)i= cos(ln(t)) + i sen(ln(t))

Estas integrales son supremamente difíciles. Creo que no hay un método, (al menos conocido), por técnicas de integración, que permita resolverlas. Además, debemos recordar que el límite inferior es un límite de t, cuando t tiende a 0+ y el superior es cuando t crece tanto como queramos. Son integrales doblemente impropias.

Se pueden resolver por integración aproximada, pero para esto, es conveniente conocer las gráficas de las funciones f(t) = cos(ln(t)) e^t         y        g(t) = sen(ln(t)) et, lo cual también es difícil.

Veamos la primera:

f(t) = cos(ln(t)) e^t

 

t	Cos(ln(t)) e^-t
0,1	-0,60
0,2	-0,031
0,5	0,46
1,0	0,36
1,5	0,21
2,0	0,10

 

En p/2 la función es 0 y luego cada n p/2      n impar, vuelve a ser 0 y así hasta el infinito

La derivada de f(t)      f’(t) = -e ^-t [cox(ln(t)) + sen(t(t)) /t]

En f'(t)= 0, obtendríamos los puntos de máxima y mínima, pero la ecuación no tiene solución, ya que, cada n p/2,    n impar la función pasa de positivo a negativa y hay infinitos puntos críticos.

Derive nos da estas gráficas de f(t) y g(t)

Graficas de f(t) y g(t)

Que sea Derive el que nos resuelva las integrales impropias de forma aproximada, mostradas en (8)

Por tanto

 

i! = 0,493595 - 0,160414i

 

 

Repaso general de la función Gamma

 

Recordemos el dominio de Gamma, Todos los Reales, excepto los enteros negativos y el 0 y todo complejo z =a + bi, con tal que a>=0          (1*)      Ver nota final

Hacemos la integración por partes

u = t ^x-1            du = (x-1) t ^x-2 dt

dv = (e ^-t) dt        v = - e ^-t

Recordemos que 0 significa: t tiende a 0 e  ∞ significa que t crece todo lo que queramos.

En esas condiciones, la parte algebraica (sin integral) de (9) es un doble límite, más o menos complicado que resolviéndolo nos entrega el valor 0.

Γ (-3/2) = 2,363…….

Γ (1) = 0! = 1

Γ (3/2) = 0,886……..

Γ (5/2) = 1,329….

Γ (7/2) = 3,323….

Γ(i) = 0,493595 – 0,160414 i

 

Gráfica de la función Gamma

Grafica de la función Gamma de x

  

Factorial de números complejos z = a +bi

Para que exista z! se requiere que:

 

 

Para cualquier dupla (a, b), dibujar las gráficas de:

f(x) = e ^aln(t) [b(cos(ln(t)) e ^-t

g(x) = e ^aln(t) [b(sen(ln(t)) e ^-t

Sería bastante difícil, casi imposible, dibujarlas; habría que hacerlas calculando muchos puntos de cada una; incluso, muchos programas de maths podrían ser incapaces de dibujarlas.

Al final, la única condición que debe tener la dupla (a, b), para que exista (a+bi)! es que las dos integrales impropias de (12) sean convergentes.

En la literatura en la que he buscado dicen que la componente real a del número complejo, sea >=0 , pero sin ninguna justificación. Veremos con ejemplos que esto no es cierto.

Recordar que el blog es hacer el cálculo de 0 + 1i,    con a = 0 y b = 1 y el factorial fue encontrado.

Veamos qué pasa con el complejo 1 + i         con la fórmula (13)

Con lo cual queda demostrado que la anotación teórica que, a>=0, es falsa.

 

 

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com

 

 

Blog mayo 2025

Mayo 2025

 

Integral que incluye una función inversa, cuya función original tiene fórmula algebraica, pero la inversa no.

∫f^-1(x)dx

f tiene fórmula algebraica, trigonométrica, logarítmica, exponencial y f^-1puede tener fórmula o no. Si f^-1 tiene fórmula, el problema es inocuo, ya que la integral se integra con las reglas tradicionales de la integración. Pero si no tiene fórmula, caso función de Lambert W(x), que es la inversa de la función f(x) = xe^x.

Imagínese la función f(x) = xsen(x) definida en el dominio [0, 2] radianes

Figura (1) Gráfica de la función y = xsen(x)

en Dominio [0, 2] radianes. El máximo ocurre en x = 2

Esta función tiene inversa porque es monótona creciente, pero esta inversa, no tiene fórmula. Igual pasa con la función W(x) de Lambert, que, tiene inversa, pero esta no tiene fórmula. La función W(x) tiene dos ramas, una de ellas es:

Figura (2) Función de Lambert, ramas W-1 y Wo

Sólo trabajaremos con Wo

Dado un valor de x en el dominio de W(x), podemos calcular W(x) por medio de un algoritmo. También, se puede pedir que se lo calculen en línea o igualmente, hay calculadoras que tienen programado ese algoritmo.

Ej    x = 1    W(1) = 0,567143           x = 5     W(5) = 1,326725 Estos valores los conseguimos en línea o con una calculadora matemática moderna.

La función de Lambert es muy importante en la solución de ecuaciones exponenciales, mientras que la función R inversa de f(x) = xsen(x) no lo es, sólo la estamos utilizando a manera de ejemplo.

No obstante, R tiene dominio que es [0, 1,82] y rango que es [0,2],y además, es simétrica de xsen(x), respecto a la recta y = x

Volvamos a los que nos interesa:

∫f^-1(x)dx                                                   (1)

Sea y = f^-1(x)                                           (2)

f(f-1(x)) = x                     y = f^-1(x)     

De (2) se concluye que:             f(y)= x          derivando, con derivación implícita, tenemos

f’(y) dy/dx = 1                 dx = f’(y)dy               y reemplazando en la (1) obtenemos:

∫yf’(y)dy                                                           Esta integral la podemos solucionar por partes

u= y            dv = f’(y)dy

du = dy         v = f(y)

∫yf’(y)dy = yf(y) - ∫f(y)dy                                                          (4)

La fórmula (4) es la que permite hacer integraciones de f-1(x),utilizando la función directa.

Veamos un ejemplo

f(x) = x³                                                    f^-1(x) = x^1/3                       

Sea y = x^1/3                                    g(y) = y ^1/3

∫f^-1(x)dx = yf(y) - ∫f(y)dy = y y³ - ∫y³dy = y⁴ –y⁴/4 + C

= (3/4)y⁴ + C

Reemplacemos y por x ^1/3

∫f^-1(x)dx = (3/4) (x ^1/3) ⁴ + C = (3/4) x ^4/3 + C

Ahora, integremos directamente ∫f^-1(x)dx = ∫x ^1/3 dx = (3/4)x ^4/3 + C

Este ejemplo es inocuo, desde el punto de vista de la integración, pero comprueba la fórmula (4)

La fórmula (4) es poderosa, cuando f^-1(x), no tiene fórmula, pero f(x) si, como es el caso de la función de Lambert, en sus dos ramas W-1 y Wo

f(x) = xe^x                                                                    W(x) es la inversa de la función anterior, pero no tiene fórmula.

Que haríamos si tuviéramos que integrar 

Derivación de la función inversa

f(x) y f^-1(x)        mutuamente inversas

y = f^-1(x)

f(y) = f(f^-1(x)) = x                                                                             (7)

Derivando la ecuación (7), implícitamente respecto de x

f’(y)dy/dx = 1                                    dy/dx = 1/f’(y) = 1/ f’(f^-1(x))      (8)

La fórmula (8) es la fórmula general para la derivada de la función inversa.

Veamos un ejemplo:

f(x) = sen(x)        Dominio restringido a [-p/2, p/2]   y Rango [-1, 1]

La función inversa de sen(x) es f^-1(x) = arcsen(x) = sen^-1(x)   D = [-1, 1]      R = [-p/2, p/2]

La derivada de arcsen(x), de acuerdo con la fórmula (8)

 (arcsen(x))’ = 1/(cos(arcsen(x)))’

En el triángulo de la figura (3) veamos que es el ángulo θ = sen^-1(x)

Figura (3)

 

La derivada del seno es el coseno. Por tanto, con la fórmula (8)

En-1(x)

La derivada de sen^-1(x) será igual a 1/ cos(sen^-1(x))

Es decir:

arcsen(x)’ = 1/√(1 – x²)

 

Juan Fernando Sanín E

Integral con integrando infinito relacionado con el número e y la integral de √(tan(x)) -Dos integrales que intimidan

Abril de 2025

Integral con integrando infinito relacionado con el número e y la integral de √(tan(x)) -Dos integrales que intimidan

Problema 1

Integrar:

Y la segunda serie se reduce a:

En la expresión, en que hemos convertido la primera sumatoria, hagamos un cambio de variable:

u = x²/2,   así      du = xdx         y       dx = du/x

Verifiquemos limites

x→0   también u→0         x→∞         u→∞

Si en la integral cambiamos la variable x por u no se afectan los límites de la integral.

Trabajemos ahora con la segunda serie y le introducimos el cambio de variable.

Su dominio son todos los reales, excluyendo el 0 y los enteros negativos.

Los naturales 1, 2, 3, 4, 5,         n       pertenecen al dominio de la función Γ(x)

En la siguiente tabla se dan algunos valores de la función Gamma:

Hay una propiedad muy importante para los valores de Γ(x), cuando x es un número natural

Γ(n) = (n-1)!

Γ(n+1) = n!

Problema 2

Resolver la Integra indefinida

∫√(tan(x)) dx                                               (1)

Una integral atemorizante. En la medida que la vamos resolviendo vamos a encontrar el 

mundo de los números complejos y unos cambios de variable y otros artificios muy difíciles.

Lo primero que se nos ocurre es un cambio de variable:

u = tan(x)        du = sec2(x)dx                dx= du/sec²(x)             dx = du/(1+tan²(x))=du/(1+u²)

∫√u du/(1+u²)

Esta integral es tan difícil como la original, por lo cual no escogemos este cambio de variable.

Intentemos un segundo cambio de variable:

u = √(tan(x))              u² = tan(x)        2udu = sec²(x)dx

∫u*2udu/sec²(x) = ∫2u²du/(1+tan²(x)) = ∫2u²du/(1+u⁴)du        ya que tan²(x) = u⁴

∫2u²du/(1+u⁴)du                                                                                       (2)

Recordemos que u⁴+1 = u⁴ - i²                i= √ (-1)

u⁴ - i² = (u²+i²) (u²-i²) =(u²-1) (u+i) (u-i)

=(u+1) (u-1) (u+i) (u-i)

Igualaríamos 2u² = A/(u+1) + B/(u-1) +C/(u+i) + D/(u-i)

Conocidos A, B, C, D, la integral la resolveríamos por fracciones parciales, en el universo de los números complejos.

Pero no, la vamos resolver sólo en los números reales.

Retomemos la integral (2)    ∫2u²du/(1+u⁴)

Ambas integrales son solucionables. La primera por fracciones parciales y la segunda es 

inmediata e igual a tan^-1

No obstante, podemos ir a cualquier buen libro de cálculo, físico o virtual y allí encontramos 

las famosas tablas de integrales, que nos sirven en este caso:

Hemos encontrado estas integrales, que son modelos para resolver las dos integrales finales.

∫dx/ (x² - a²) = [ln (x - a) – ln (x + a)]/ (2a)

∫dx/ (x² + a²) = (1/a) tan^-1(x/a)

Y con estas fórmulas terminamos el ejercicio. En este caso a = √2

El resultado de la integral propuesta será:

= [ln (w - √2) – ln (w + √2)]/ (2√2a) + (1/√2) tan^-1(v/√2) + C

= [ln (u+1/u - √2) – ln (u+1/u + √2)]/ (2√2a) + (1/√2) tan^-1[(u-1/u) /√2] + C

=[ln (tan(x)+1/ tan(x) - √2) – ln (tan(x)+1/ tan(x) + √2)]/ (2√2a) + (1/√2) [[tan^-1[tan(x) -1/ tan(x)] /√2] + C

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com

Nota: La integral (2) está propuesta como ejercicio en diferentes ediciones del Cálculo de Leithold. Pero su grado de dificultad es muy alto para estudiantes que están aprendiendo cálculo y aun para profesores, si los cogen desprenidos.

La integral con integrando infinito, no creo que esté en ningún libro de Cálculo para estudiantes de ingeniería o matemáticas. No obstante hay muchos blogs y aun videos en youtube, donde proponen y resuelven este tipo de integrales. Lamento no poder referir el blog exacto. Lo que si recuerdo es que estaba propuesto y daban sugerencias muy efectivas.

Identidades sen(α+β); Cual es mayor e^pi o pi^e; Raiz cuadrada de una matriz; Ecuación logarítmica y problema de áreas de triángulos y cuadrados.

 Medellín, marzo 2025

Identidades sen(α+β) y cos(α+β); Cuál es mayor  o e^π o π^e; Raíz cuadrada de una matriz; Ecuación logarítmica y problema de áreas de triángulos y cuadrados.

1.    Cuál es mayor π^e o e^π

Podríamos chequear con la calculadora, pero no, lo vamos hacer a través de analizar la gráfica y = ln(x)/x

La gráfica de la función es la que se muestra en la figura (1)

Obtenemos el valor de su punto máximo

y’ = [x/x -ln(x)]/x² = (1 – ln(x))/x² )        en donde:    el punto crítico es el que resuelva la ecuación                1 – ln(x) = 0, o sea x = e

Se trata de un máximo, ya que para para valores <e la derivada es positiva y para valores > e la derivada es negativa. La derivada pasa de (+) a (–) en x = e

 

Fig. 1  Gráfica de y = ln(x)/x

El mayor valor de y es 1/e;      por tanto,  para todo y diferente;     ln(π)/π < 1/e

Se sigue que                                                        e*Ln(π) < π

                                                                             [Ln(π)^e] < π    (1)

Recordemos que e^Ln(x) = x     (2), y elevamos a la e ambos lados de la ecuación (1)

                                                                                      {e^[Ln(π)^e]} < e^π

                                                                                                 π^e <  e^π

1.    2.Demostrar gráficamente las fórmulas trigonométricas:

sen(α+β) = senαcosβ + cosαsenβ

cos(α+β) = cosαcosβ - senαsenβ

 

Construyamos el ángulo α como se indica en la figura (2)

Luego, construyamos el ángulo β, como se indica en la figura (2)

Figura (2)

Sea α el ángulo <BAC         y β el ángulo <CAE      Para llegar a E trazamos la recta CE perpendicular a AC.

Suponemos que la longitud de la recta AE es 1 y completamos el rectángulo ABDF

Veamos algunas propiedades en la figura:    <BAC = <DCE = α (porque tienen sus lados perpendiculares entre sí)

El ángulo <AEF = <BAE         por alternos internos.

Veamos el triángulo rectángulo ACE

Si la hipotenusa AE es 1 entonces AC = cosβ      y CE = senβ

Veamos el triángulo ABC cuya hipotenusa es cosβ, por un razonamiento igual al anterior:

AB = cosαcosβ y BC es cosβsenα   Como se ve en la figura (3)

Figura (3) Desarrollo del problema gráfico.

De igual manera CD es senβcosα y DE es igual a senβsenα

Ahora viene lo mas interesante: AF sen(α+β)        y      EF = cos(α+β)

Mirando igualdades en el rectángulo AF= BD= BC + CD o lo que es lo mismo:

sen(α+β) = senαcosβ + cosαsenβ              Quedó demostrada la primera identidad.

Ahora miramos EF = cos(α+β) = FD – DE y se ve claramente en la figura que es igual a

cosαcosβ- senαsenβ

Queda demostrado que:

cos(α+β) = cosαcosβ - senαsenβ

3. Encontrar la raíz cuadrada de la siguiente matriz

Lo primero que se me viene a la cabeza, es que no tengo idea de como resolver este sistema de ecuaciones. Intenté con “DERIVE”y afortunadamente lo resolvió. Podía no haberlo resuelto.

La respuesta fue múltiple (4 matrices):

 

(x = 0  y = 1  z = 2  u = 1), (x = 0  y = -1  z = -2  u = -1), (x = 4/3  y = 1/3,  z = 2/3, u = 5/3), (x = -4/3  y = -1/3,  z = -2/3, u = -5/3)

 

Al hacer la prueba con las 4 matrices, vemos que todas cumplen que B^2 = A

 

1.   4.  Resolver la ecuación:

2^x*3^(x²) = 6

Todo parece indicar que se resuelve utilizando las propiedades de los logaritmos.

Dividiendo por 6 a ambos lados:

2^x-1*3^(x²-1) = 1

ln[(2^x-1)*3^(x²-1)] = ln1 = 0

ln(2^x-1) + ln3^(x²-1) = 0

(x-1)ln2 + (x²-1)ln3 = 0

(x-1)[ln2 + (x+1)ln3] = 0

Lo anterior me da las dos raíces para x. La primera es x-1 = 0      x = 1

La segunda me da que x = -ln2/ln3 – 1 = -1.630929753

La verificación con x= 1 es obvia. Con x = -1.630929753 hay que tener cuidado

(-1.630929753)^2 = 2.659931859

2^{(-1.630929753)*}3^{(2.659931859)} = 6

 

    5. En la siguiente figura, encontrar el área rayada.

AEGH y ABCD son cuadrados, cuyo lado no conocemos. Pero conocemos las áreas sombreadas.

Figura (4)

 

No conocemos el lado de ninguno de los dos cuadrados. No obstante, conocemos el área del cuadrado AEFG que es igual a 4 + 12 = 16, por lo que el lado de este cuadrado es 4.

Igualmente, conocemos el lado AE del triángulo rectángulo AEF y por consiguiente, conocemos el lado EF.    EF*4/2 = 4       EF = 2 y por lo tanto, FG = 2

Los triángulos AEF y FBG, son rectángulos y además, tienen igual el ángulo interior en F. La relación entre sus hipotenusas es: 1/√5   Ver figura (5)

Figura (5)

Sus catetos serán FB = 2/√5 y BG = 4/√5

El área de este triángulo FBG = (2/√5) (4/√5)/2 = 4/5 u2

El área pedida será igual a (2√5 + 2/√5)² - 4/5 -12 = 16 u2

 

Juan Fernando Sanin E

juanfernando.sanin@gmail.com

 

La mayoría de los ejercicios, tomados de blogs de la web, de varios autores.